在电视剧《隐秘的角落》中,张东升讲了这样一个故事:数学家笛卡尔与年轻的瑞典公主相爱了,他们相差30多岁,王室不愿意让这样的事发生,于是将笛卡尔流放,笛卡尔在临死前给公主寄了一个公式,由这个公式解出的图形,正是一个心形。
这个故事十分浪漫,而事实上,这一切其实是一场梦,它是后人编造的一场梦。而真实的笛卡尔坐标系的诞生,确实出自于笛卡尔的梦中。
   300多年前,笛卡尔在夜空下的军营里做了一场梦,他梦见陨落的流星在蓝色的天幕上划出了一条条线,奔腾奔驰的骏马,在初冬的草地上留下一道道痕,这些线纵横交错编织成网,网上的节点闪闪发光,突然间这个绚烂的图景从他眼前消失了,取而代之的是营房的天花板,他看到天花板上有一只苍蝇在缓缓爬行,仿佛是一只羽毛笔的笔尖,轻轻触在纸面上,触点缓缓地移动着,形成一条弯弯的轨迹……这时仿佛有人在说:“如果知道苍蝇与这两个相邻的墙壁的距离,那么苍蝇的位置也就知道了。”当然这里的距离还得分为“从左边(或后边)到墙壁的距离”与“从右边(或前边)到墙壁的距离”,这正好用得上“负数”。距离分为正负两种,也就是成了“有向距离”,如果知道苍蝇与相邻墙壁的两个“有向距离”间的关系,那么就可以描绘出苍蝇在天花板上爬行的路线了。他高兴极了,正想把思路清理一下,梦却醒了。
对于这个奇特的梦,笛卡尔一直回味到天明,此后几天他的全部思绪都被自己梦中的发现所占据,他想发明一种用数来表示点的位置的办法进而用反应“点”位置变动规律的数量关系来描绘点的运动轨迹(曲线),这就是坐标系与坐标法的最初构想。
   笛卡尔的一生都充满着梦想,他出生在一个贵族家庭里,小时候由于身体瘦弱,父亲和老师允许他卧床学习,据说他经常在清晨就开始长时间的静卧冥想。长大后笛卡尔到巴黎学习,由于过不惯贵族生活,他自愿到军队服务,当时的军队生活并不紧张,他把所有的空闲时间都用来研究数学。
后来为他写传记的作者称,1619年11月10日笛卡尔的这场改变了他整个人生道路的梦,发生于圣马丁节(宗教节日)前夕的狂饮之后,但新思想实际上已经酝酿多时,在梦中升华之前,他已有三个月时间没有碰过酒。他并不是像一些艺术家沉浸在酒精与梦幻中,等待灵感的降临,这一切是努力思考得来的。坚信我思故我在的笛卡尔,认为只有在主动的思考中,才能感觉到自我的存在,思考本身就是自由意志的体现。
   笛卡尔怀有一种信念,世界上的一切问题都可以归结于数学问题,一切数学问题都可以归结于代数问题,一些代数问题都可以归结为方程问题。
笛卡尔通过坐标法,把数与形系统地联系在一起,在作为几何语言的点和作为代数语言的“有序实数对”之间建立起互译法则。这样两个变量x、y间的函数关系,就可以用图像直观形象地显示出来,例如一次函数y=kx+b(k≠0)可以用一条直线来表示,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)可以用一条抛物线来表示。更进一步任何一个关于x、y的二元方程,以它的每个解(x、y)为坐标都可以确定平面上的一个点,而这个方程的解集就对应着平面上的一个点集。例如方程x²+y²=r²(r>0)的解集就对应一个以原点为中心,以r为半径的圆。反之,许多平面曲线都对应一个关于x、y的二元方程。这样通过对表示图形的方程的性质进行研究,就可以取代对图形性质的研究,这就实现了用代数方法来解决几何问题的梦想,开创了一门崭新的数学学科——解析几何学。
   1637年6月8日,迪卡尔的名著方法论正式出版,这一天被认为是解析几何学诞生的日子。在世界数学史上,笛卡尔首倡的用代数方法解决几何问题的观点,无疑具有划时代的意义,它用变数来描述点的运动的规律的方法,闪烁着辩证法的光芒。

   欧几里得曾说过,几何学中没有王者之道,但平民之道是不是只有《几何原本》所示的一条呢?笛卡尔将一切问题归结为代数、方程问题,不仅发现了坐标系,也为后人学习几何找到了捷径。
   笛卡尔对所学到的一切几乎都抱着疑问,但是他在审慎地考证过各种学问后,认为数学是明确可靠的学问,于是他力求用从不会出错的数学方法来研究哲学、道德等问题。他理性看待世界的方式,解决了不少我们可能遇到的难题,甚至也包括了许多精神、情感上的迷惑。
作者:吴大樑